Вся переписка в Telegram хранится исключительно на вашем устройстве: телефоне, ПК или планшете, а еще на серверах самого мессенджера. Фактически история сообщений уже скачана вами, но она находится в зашифрованном виде, поэтому прочитать ее нельзя.
Но вы можете переносить свои сообщения на разные гаджеты, чтобы в Telegram на компьютере открывать сообщения, которые прислали вам на телефон. Удобно. Чтобы это сделать, нужно лишь синхронизировать аккаунт при входе со второго девайса.